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Der große Satz von Fermat für n >= min(a,b)

Joachim Pimiskern, 25.2.2007

Der große Satz von Fermat bzw. Fermat-Wiles besagt, daß die Gleichung a^n + b^n = c^n keine Lösung für natürliche a,b,c > 0 sowie n > 2 besitzt.
Hier ein Beweis für hinreichend großes n. OBdA sei a>b, n>=b.

Die Beweisidee beruht darauf, daß bei hinreichend großem Exponenten n der Ausdruck a^n + b^n echt zwischen den n-ten Potenzen zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen liegt und demnach nicht die n-te Potenz einer Zahl c sein kann.

Das Pascalsche Dreieck für (a+b)^n

0                  1
1                 1 1
2                1 2 1
3               1 3 3 1
4              1 4 6 4 1
z.B. für den Fall n=4:
(a+b)^4 = 1*a^4*b^0 + 4*a^3*b^1 + 6*a^2*b^2 + 4*a^1*b^3 + 1*b^4
Für den Exponenten n heißt es
(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + ... + b^n
Speziell für die n-te Potenz, die auf a^n folgt:
(a+1)^n = a^n + n*a^(n-1)   + ... + 1
Wegen a>b, n>=b gilt also:
a^n < a^n + b^n < (a+1)^n 
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